Kombinacje, permutacje i wariacje — jak rozpoznać, którego wzoru użyć

Kombinatoryka odpowiada na pytanie „na ile sposobów?”. Zanim podstawisz liczby do wzoru, zadaj sobie dwa pytania:

1. Czy kolejność ma znaczenie? (czy „A, B” to coś innego niż „B, A”?)
2. Czy elementy mogą się powtarzać?

Silnia

n! = 1 · 2 · 3 · … · n 0! = 1

5! = 120, 10! = 3 628 800. Silnia rośnie bardzo szybko — 20! ma już 19 cyfr.

Permutacje — ustawienie wszystkich elementów

Pₙ = n!

Na ile sposobów ustawić 5 książek na półce? 5! = 120. Pierwszą wybieramy z 5, drugą z 4 pozostałych itd.

Wariacje bez powtórzeń — kolejność ważna, bez powtórzeń

V = n! ÷ (n − k)!

Na ile sposobów 10 zawodników może zająć podium (złoto, srebro, brąz)? 10 · 9 · 8 = 720.

Wariacje z powtórzeniami — kolejność ważna, powtórzenia dozwolone

W = nᵏ

Kod PIN z 4 cyfr: 10⁴ = 10 000 możliwości. Hasło z 8 małych liter: 26⁸ ≈ 209 mld — dlatego krótkie hasła łatwo złamać (więcej w poradniku o bezpiecznych hasłach).

Kombinacje — kolejność nieważna, bez powtórzeń

C(n, k) = n! ÷ (k! · (n − k)!)

To symbol Newtona, czytany „n po k”. Lotto: 6 liczb z 49, kolejność losowania nie ma znaczenia: C(49, 6) = 13 983 816.

Kombinacje z powtórzeniami

C(n + k − 1, k)

3 gałki lodów z 8 smaków (mogą się powtarzać, kolejność w kubku nieważna): C(10, 3) = 120.

Szanse w grach liczbowych

Gra	Liczba kombinacji	Szansa na główną wygraną
6 z 49	C(49, 6) = 13 983 816	1 : 13 983 816
5 z 42	C(42, 5) = 850 668	1 : 850 668
ręka w pokerze (5 z 52 kart)	C(52, 5) = 2 598 960	poker królewski: 4 : 2 598 960

Dla porównania: grając jednym zakładem 6 z 49 dwa razy w tygodniu, statystycznie czekalibyśmy na „szóstkę” ponad 130 tysięcy lat.

Prawdopodobieństwo klasyczne

Gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne: P = liczba wyników sprzyjających ÷ liczba wszystkich wyników. Kombinatoryka podaje obie te liczby.

Silnię, symbol Newtona, wariacje i kombinacje — także dla bardzo dużych liczb, z dokładnym wynikiem — obliczysz w kalkulatorze kombinatorycznym.