Prawdopodobieństwo w praktyce — moneta, kostka, loteria i paradoks urodzin
Dlaczego 5 orłów w 10 rzutach zdarza się rzadziej, niż myślisz, jak policzyć szansę na „co najmniej jeden”, ile osób trzeba, żeby dwie miały urodziny tego samego dnia, i czym jest błąd hazardzisty.
Podstawa
P(A) = liczba zdarzeń sprzyjających ÷ liczba wszystkich zdarzeń rzut kostką, wypadnie parzysta: 3 ÷ 6 = 1/2
Wzór działa, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne. Liczbę możliwości często liczy się kombinatoryką (zob. kombinacje, permutacje, wariacje).
Wiele prób — schemat Bernoulliego
Gdy powtarzamy to samo doświadczenie n razy i liczymy sukcesy:
P(k sukcesów) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)
| Sytuacja | Prawdopodobieństwo |
|---|---|
| dokładnie 5 orłów w 10 rzutach | ok. 24,6% |
| co najmniej 5 orłów w 10 rzutach | ok. 62,3% |
| 10 orłów w 10 rzutach | ok. 0,1% (1 : 1024) |
| dokładnie 1 szóstka w 6 rzutach kostką | ok. 40,2% |
Dowolne n, p i k policzysz — z wykresem rozkładu — w kalkulatorze schematu Bernoulliego.
„Co najmniej jeden” — przez zdarzenie przeciwne
P(co najmniej jeden) = 1 − P(żaden) = 1 − (1 − p)^n
- Co najmniej jedna szóstka w 6 rzutach: 1 − (5/6)⁶ ≈ 66,5% (a nie 100%).
- Co najmniej jedna szóstka w 4 rzutach: 1 − (5/6)⁴ ≈ 51,8% — na tym zakładzie w XVII wieku zarabiał kawaler de Méré.
- Jeśli alarm ma 1% szans na fałszywe uruchomienie w ciągu doby, to w ciągu roku przynajmniej jeden fałszywy alarm zdarzy się z prawdopodobieństwem 1 − 0,99³⁶⁵ ≈ 97,4%.
Paradoks urodzin
Ile osób musi być w grupie, żeby z prawdopodobieństwem ponad 50% dwie miały urodziny tego samego dnia? Tylko 23. Przy 50 osobach to już ok. 97%. Intuicja zawodzi, bo liczymy nie „czy ktoś ma urodziny tego dnia co ja”, ale czy jakakolwiek para się pokrywa — a par w grupie 23 osób jest 253.
P(wszystkie różne) = 365/365 · 364/365 · … · 343/365 ≈ 0,493 P(co najmniej jedna para) ≈ 1 − 0,493 = 0,507
Loteria
W Lotto (6 z 49) liczba możliwych zestawów to C(49, 6) = 13 983 816. Jeden zakład daje szansę ok. 1 : 14 milionów na „szóstkę”. Kupując 10 zakładów co tydzień przez 50 lat (26 000 zakładów), masz ok. 0,19% szans na główną wygraną. Jak uczciwie przeprowadza się losowania, opisuje poradnik uczciwe losowanie, a losowanie liczb przeprowadzisz w maszynie losującej.
Błąd hazardzisty
Po serii 5 reszek wielu ludzi wierzy, że „teraz musi wypaść orzeł”. Ale moneta nie ma pamięci — każdy rzut to nadal 50 : 50. Prawdopodobieństwo serii 6 reszek z góry wynosi 1/64, ale po 5 reszkach szansa na szóstą to wciąż 1/2. Na tym samym błędzie opiera się wiele „systemów” w grach losowych — żaden nie zmienia matematycznej przewagi organizatora.
Narzędzia do tego poradnika
prawdopodobieństwoschemat Bernoulliegostatystykaparadoks urodzinloteriamatura