Średnia, mediana i dominanta — czym się różnią i kiedy której używać
Dlaczego „przeciętne wynagrodzenie” jest wyższe od tego, co zarabia większość ludzi? Wyjaśniamy trzy miary środka danych i średnią ważoną na przykładzie ocen.
Gdy chcemy jedną liczbą opisać cały zbiór danych — oceny, ceny, czasy dojazdu — mamy do wyboru kilka miar. Każda odpowiada na nieco inne pytanie.
Średnia arytmetyczna
Suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę:
średnia = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
Dla czasów dojazdu 20, 25, 22, 24 i 79 minut: (20 + 25 + 22 + 24 + 79) / 5 = 34 minuty. Jeden wyjątkowy dzień w korku mocno „podciągnął” wynik — średnia jest wrażliwa na wartości odstające.
Mediana
Wartość środkowa po uporządkowaniu danych rosnąco. Dla tych samych czasów: 20, 22, 24, 25, 79 — mediana to 24 minuty i lepiej oddaje typowy dojazd.
Gdy liczba danych jest parzysta, mediana to średnia dwóch środkowych wartości: dla 3, 5, 8, 10 mediana = (5 + 8) / 2 = 6,5.
Właśnie dlatego urzędy statystyczne podają osobno przeciętne wynagrodzenie (średnią) i medianę wynagrodzeń. Wysokie pensje nielicznych osób podnoszą średnią, ale nie przesuwają mediany — ta pokazuje, ile zarabia „osoba w środku”.
Dominanta (moda)
Wartość, która występuje najczęściej. W zbiorze ocen 4, 5, 3, 4, 4, 2, 5 dominanta to 4. Zbiór może mieć kilka dominant albo nie mieć jej wcale. Dominanta jest jedyną z tych miar, której można użyć dla danych nieliczbowych, np. najczęściej wybierany kolor.
Średnia ważona
Gdy wartości mają różne znaczenie, każdą mnożymy przez jej wagę:
średnia ważona = Σ(xᵢ · wᵢ) / Σwᵢ
Przykład: sprawdzian (waga 3) na 5, kartkówka (waga 2) na 3 i odpowiedź (waga 1) na 4.
(5 · 3 + 3 · 2 + 4 · 1) / (3 + 2 + 1) = (15 + 6 + 4) / 6 = 25 / 6 ≈ 4,17.
Zwykła średnia wyniosłaby 4,0 — waga sprawdzianu podniosła wynik.
Którą miarę wybrać?
| Sytuacja | Najlepsza miara |
|---|---|
| Dane bez skrajnych wartości (np. wzrost uczniów w klasie) | średnia |
| Dane z wartościami odstającymi (zarobki, ceny mieszkań) | mediana |
| Najpopularniejszy wybór (rozmiar butów, kolor) | dominanta |
| Elementy o różnym znaczeniu (oceny z wagami, portfel inwestycji) | średnia ważona |
Rozrzut danych
Sama miara środka nie mówi, jak bardzo dane się różnią. Średnia 50 może wynikać z wartości 49, 50 i 51 albo 0, 50 i 100. Dlatego obok średniej podaje się odchylenie standardowe — im większe, tym bardziej wartości są rozproszone wokół średniej.
Średnią zwykłą i ważoną, medianę, dominantę oraz odchylenie standardowe obliczysz w kalkulatorze średniej — wystarczy wkleić liczby.
Narzędzia do tego poradnika
statystykaśredniamedianadominantaśrednia ważona