Ciąg arytmetyczny i geometryczny — n-ty wyraz i suma
Oblicz n-ty wyraz, sumę n początkowych wyrazów i kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego lub geometrycznego, a także sumę szeregu geometrycznego nieskończonego.
Wyznacz ciąg z dwóch wyrazów
Umieść to narzędzie na swojej stronie
Bezpłatnie, bez rejestracji. Widżet pokazuje na dole napis „Narzędzie udostępnia AMKBIT.pl”.
Ciąg arytmetyczny
Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie tej samej liczby r (różnicy): 3, 7, 11, 15…
aₙ = a₁ + (n − 1)·r Sₙ = (a₁ + aₙ)·n ÷ 2 = (2a₁ + (n − 1)·r)·n ÷ 2
Ciąg geometryczny
Każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez tę samą liczbę q (iloraz): 2, 6, 18, 54…
aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ Sₙ = a₁·(1 − qⁿ) ÷ (1 − q), dla q ≠ 1 S = a₁ ÷ (1 − q), dla |q| < 1 (szereg nieskończony)
Gdzie się przydają
- Arytmetyczny: raty malejące, oszczędzanie stałej kwoty co miesiąc bez odsetek, liczba miejsc w kolejnych rzędach widowni.
- Geometryczny: procent składany, rozmnażanie bakterii, rozpad promieniotwórczy, utrata wartości samochodu o stały procent rocznie.
Przykłady
Arytmetyczny
a₁ = 3, r = 4: a₁₀ = 39, S₁₀ = 210.
Geometryczny
a₁ = 2, q = 3: a₅ = 162, S₅ = 242. Dla q = 1/2 i a₁ = 1 suma nieskończona wynosi 2.
Najczęstsze pytania
Jak sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny?
Policz różnice kolejnych wyrazów — w ciągu arytmetycznym są równe. W geometrycznym równe są ilorazy kolejnych wyrazów. Dla trzech kolejnych wyrazów a, b, c: arytmetyczny, gdy 2b = a + c; geometryczny, gdy b² = a·c.
Poradniki
Wynik ma charakter pomocniczy. Przy ważnych decyzjach (finansowych, technicznych, zdrowotnych) sprawdź go niezależnie. Zasady korzystania.