Ciąg arytmetyczny i geometryczny — wzory, własności i zadania maturalne

Wzory w pigułce

	Arytmetyczny	Geometryczny
definicja	aₙ₊₁ = aₙ + r	aₙ₊₁ = aₙ · q
wyraz ogólny	aₙ = a₁ + (n − 1)r	aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
suma n wyrazów	Sₙ = (a₁ + aₙ)·n ÷ 2	Sₙ = a₁(1 − qⁿ) ÷ (1 − q), q ≠ 1
trzy kolejne wyrazy a, b, c	2b = a + c	b² = a · c
monotoniczność	rosnący dla r > 0	zależy od a₁ i q

Zadanie 1 — wyraz i suma

W ciągu arytmetycznym a₁ = 3 i r = 4. Oblicz a₁₀ i sumę dziesięciu początkowych wyrazów.

a₁₀ = 3 + 9·4 = 39 S₁₀ = (3 + 39)·10 ÷ 2 = 210

Zadanie 2 — ciąg z dwóch wyrazów

W ciągu arytmetycznym a₂ = 7 i a₅ = 19. Wyznacz a₁ i r.

a₅ − a₂ = 3r → 12 = 3r → r = 4 a₁ = a₂ − r = 3

W ciągu geometrycznym a₂ = 6 i a₄ = 54. Wyznacz q.

a₄ ÷ a₂ = q² → q² = 9 → q = 3 lub q = −3

Uwaga: przy parzystej odległości wyrazów istnieją dwa ciągi spełniające warunki — na maturze trzeba podać oba albo sprawdzić dodatkowy warunek (np. „ciąg rosnący”).

Zadanie 3 — trzy kolejne wyrazy

Dla jakiego x liczby x − 1, 2x, 5x + 2 tworzą ciąg arytmetyczny?

2 · 2x = (x − 1) + (5x + 2) → 4x = 6x + 1 → x = −1/2

Sprawdzenie: −3/2, −1, −1/2 — różnica 1/2. ✓

Szereg geometryczny nieskończony

Gdy |q| < 1, suma wszystkich wyrazów jest skończona: S = a₁ ÷ (1 − q).

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1 ÷ (1 − 1/2) = 2 0,999… = 9/10 + 9/100 + … = (9/10) ÷ (1 − 1/10) = 1

Ten sam wzór zamienia ułamki okresowe na zwykłe: 0,(3) = 3/10 ÷ (9/10) = 1/3.

Ciągi w życiu codziennym

• Raty malejące kredytu tworzą ciąg arytmetyczny — każda kolejna jest mniejsza o tę samą kwotę odsetek (zob. raty równe czy malejące).
• Procent składany to ciąg geometryczny z ilorazem q = 1 + stopa: kwota po n latach to K·(1 + p)ⁿ (zob. jak działa procent składany).
• Samochód tracący 15% wartości rocznie: q = 0,85; po 5 latach zostaje 0,85⁵ ≈ 44% ceny.

Wyrazy, sumy i ciąg wyznaczony z dwóch wyrazów policzysz w kalkulatorze ciągów, a potęgi i logarytmy (np. „po ilu latach kwota się podwoi”) — w kalkulatorze potęg i logarytmów.