Logika zdań i tabela prawdy — spójniki, prawa i zadania

Zdanie logiczne

W logice zdaniem nazywamy wypowiedź, której można przypisać prawdę (1) albo fałsz (0). „2 + 2 = 4” jest zdaniem prawdziwym, „Warszawa leży nad morzem” fałszywym. Pytanie „Która godzina?” nie jest zdaniem logicznym. Zdania łączymy spójnikami i badamy, kiedy całość jest prawdziwa.

Spójniki logiczne

p	q	¬p	p ∧ q	p ∨ q	p → q	p ↔ q
1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	0	1	1

• Negacja ¬p – „nieprawda, że p”.
• Koniunkcja p ∧ q – „p i q”, prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania są prawdziwe.
• Alternatywa p ∨ q – „p lub q”, fałszywa tylko wtedy, gdy oba są fałszywe.
• Implikacja p → q – „jeżeli p, to q”, fałszywa tylko przy 1 → 0.
• Równoważność p ↔ q – „p wtedy i tylko wtedy, gdy q”, prawdziwa przy tych samych wartościach.

Implikacja w praktyce

„Jeżeli pada deszcz, to ulica jest mokra” nie jest złamane, gdy nie pada, a ulica jest mokra, bo mogła ją polać polewaczka. Implikacja mówi tylko, co musi się stać, gdy poprzednik jest prawdziwy. To najczęstsze źródło błędów w zadaniach.

Jak zbudować tabelę prawdy

1. Wypisz zmienne. Dla n zmiennych będzie 2ⁿ wierszy.
2. Wypełnij kolumny zmiennych wszystkimi kombinacjami 1 i 0.
3. Dodawaj kolumny dla kolejnych części wyrażenia, od nawiasów najbardziej wewnętrznych.
4. Ostatnia kolumna to wynik całego wyrażenia.

Kombinacje zer i jedynek to kolejne liczby w systemie dwójkowym, co opisuje poradnik systemy liczbowe. Tabelę dla dowolnego wyrażenia wygeneruje kalkulator tabeli prawdy.

Tautologie i ważne prawa

Tautologia to wyrażenie zawsze prawdziwe. Najważniejsze przykłady:

• Prawa de Morgana: ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) oraz ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q).
• Prawo kontrapozycji: (p → q) ↔ (¬q → ¬p).
• Prawo wyłączonego środka: p ∨ ¬p.
• Zamiana implikacji: (p → q) ↔ (¬p ∨ q).

Gdzie się to przydaje

Logika zdań to podstawa programowania (warunki if), układów cyfrowych (bramki AND, OR, NOT) i wyszukiwarek, w których łączy się słowa operatorami. Pomaga też w zadaniach z prawdopodobieństwa, gdzie zdarzenia łączy się tymi samymi spójnikami, o czym pisze poradnik prawdopodobieństwo w praktyce. Liczbę możliwych układów policzy kalkulator kombinatoryki.