Ciąg Fibonacciego i złota proporcja — co je łączy

Definicja

Ciąg Fibonacciego zaczyna się od dwóch jedynek, a każdy kolejny wyraz jest sumą dwóch poprzednich: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… To ciąg rekurencyjny, czyli opisany przez zależność od wcześniejszych wyrazów, a nie przez prosty wzór na n-ty wyraz jak ciąg arytmetyczny. Dowolną liczbę wyrazów wypisze i sprawdzi kalkulator ciągu Fibonacciego.

Skąd się wziął

Leonardo z Pizy opisał w 1202 roku zadanie o królikach. Para dorosłych królików co miesiąc rodzi nową parę, a młode zaczynają się rozmnażać po miesiącu. Liczba par w kolejnych miesiącach tworzy właśnie ten ciąg.

Złota proporcja

Dzieląc wyraz przez poprzedni, otrzymujemy 2, 1,5, 1,667, 1,6, 1,625, 1,615, 1,619… Wyniki zbliżają się do liczby φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618034. Prostokąt o bokach w tej proporcji nazywa się złotym. Proporcje ekranów i zdjęć, takie jak 16:10, są jej bliskie, o czym więcej w poradniku proporcje obrazu.

Wzór Bineta

Istnieje jawny wzór na n-ty wyraz: Fn = (φⁿ − ψⁿ) / √5, gdzie ψ ≈ −0,618. Dla dużych n drugi składnik jest pomijalny, więc Fn to zaokrąglenie φⁿ / √5. Na przykład φ¹⁰ / √5 ≈ 55,004, czyli F10 = 55.

Ciekawe własności

• Co trzeci wyraz jest parzysty: 2, 8, 34, 144…
• Suma pierwszych n wyrazów jest o 1 mniejsza od wyrazu F(n+2). Na przykład 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = 13 − 1.
• Dwa sąsiednie wyrazy nie mają wspólnego dzielnika większego niż 1.
• Liczba x należy do ciągu wtedy, gdy 5x² + 4 lub 5x² − 4 jest kwadratem liczby całkowitej.

W przyrodzie i technice

Liczby spiral w koszyczku słonecznika czy na szyszce to często sąsiednie wyrazy ciągu, na przykład 34 i 55. Programiści używają ciągu do ćwiczeń z rekurencji, a zespoły pracujące zwinnie oceniają trudność zadań w punktach 1, 2, 3, 5, 8, 13.

Zadanie szkolne

Ile par królików będzie po roku, zaczynając od jednej pary? Dwunasty wyraz to 144. Porównanie z ciągiem arytmetycznym i geometrycznym znajdziesz w poradniku ciągi — wzory i zadania oraz w kalkulatorze ciągów.