Wycinek koła i długość łuku — wzory i zadania

Pojęcia

• Wycinek koła – część koła między dwoma promieniami, jak kawałek pizzy.
• Łuk – część okręgu między końcami promieni.
• Cięciwa – odcinek łączący końce łuku.
• Odcinek koła – obszar między cięciwą a łukiem.

Podstawy dotyczące całego koła opisuje poradnik koło, obwód, pole i liczba π.

Wzory w stopniach

łuk = 2πr · α / 360°, pole = πr² · α / 360°

Wycinek to taka część koła, jaką część kąta pełnego stanowi α. Kąt 90° to ćwiartka, więc pole wycinka to jedna czwarta pola koła.

Wzory w radianach

łuk = r · α, pole = r² · α / 2

Radiany upraszczają wzory. Kąt 60° to π/3 ≈ 1,0472 rad. Zamianę stopni na radiany wyjaśnia poradnik stopnie a radiany, a wykona konwerter kątów.

Przykład krok po kroku

r = 10 cm, α = 60°. Pole wycinka: π · 100 · 60/360 = 100π/6 ≈ 52,36 cm². Łuk: 2π · 10 · 60/360 = 20π/6 ≈ 10,47 cm. Obwód wycinka to łuk plus dwa promienie: 10,47 + 20 = 30,47 cm. Cięciwa: 2 · 10 · sin 30° = 10 cm. Trójkąt pod cięciwą jest równoboczny, a jego pole wynosi około 43,30 cm². Pole odcinka koła to 52,36 − 43,30 ≈ 9,06 cm². Wszystkie wartości poda kalkulator wycinka koła.

Zadania z życia

Pizza. Pizza o średnicy 32 cm pokrojona na 8 kawałków. Każdy to wycinek o kącie 45°, polu około 100,5 cm² i łuku brzegu około 12,6 cm.

Wycieraczka samochodowa. Pióro długości 50 cm, zaczynające się 10 cm od osi, obraca się o 120°. Czyszczony obszar to różnica dwóch wycinków: π · (50² − 10²) · 120/360 ≈ 2513 cm².

Łuk drogi lub toru. Zakręt o promieniu 200 m i kącie 30° ma długość około 104,7 m.

Zadania odwrotne

Gdy znamy łuk i promień, kąt obliczymy ze wzoru α = łuk · 360° / (2πr). Gdy znamy pole wycinka i kąt, promień wynosi r = √(pole · 360° / (π · α)). Przy cięciwie przyda się trygonometria, którą opisuje poradnik pole trójkąta — wzory. Pola innych figur policzy kalkulator pól figur.