Równanie kwadratowe i delta — jak rozwiązać krok po kroku

Równanie kwadratowe ma postać ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0. Liczby a, b i c to współczynniki. Rozwiązania (pierwiastki) to te wartości x, dla których wyrażenie jest równe zeru — na wykresie to miejsca, w których parabola przecina oś X.

Delta, czyli wyróżnik

Δ = b² − 4ac

Znak delty mówi, ile rozwiązań ma równanie:

• Δ > 0 — dwa różne rozwiązania,
• Δ = 0 — jedno rozwiązanie (pierwiastek podwójny),
• Δ < 0 — brak rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

Wzory na pierwiastki

x₁ = (−b − √Δ) / 2a x₂ = (−b + √Δ) / 2a x₀ = −b / 2a (gdy Δ = 0)

Przykład: dwa rozwiązania

2x² − 3x − 2 = 0, czyli a = 2, b = −3, c = −2.

Δ = (−3)² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25, √Δ = 5.

x₁ = (3 − 5) / 4 = −0,5, x₂ = (3 + 5) / 4 = 2.

Przykład: jedno rozwiązanie

x² − 6x + 9 = 0. Δ = 36 − 36 = 0, więc x₀ = 6 / 2 = 3. To równanie można też zapisać jako (x − 3)² = 0.

Przykład: brak rozwiązań

x² + 2x + 5 = 0. Δ = 4 − 20 = −16 < 0. Parabola leży w całości nad osią X i nie ma miejsc zerowych. W liczbach zespolonych rozwiązania istnieją: x = −1 ± 2i.

Skróty bez delty

Gdy brakuje któregoś współczynnika, delta nie jest potrzebna:

• c = 0: x² − 5x = 0 → x(x − 5) = 0 → x = 0 lub x = 5.
• b = 0: x² − 49 = 0 → x² = 49 → x = −7 lub x = 7.

Sprawdzenie wzorami Viète’a

Dla rozwiązań x₁ i x₂ zachodzi:

x₁ + x₂ = −b / a x₁ · x₂ = c / a

W pierwszym przykładzie: −0,5 + 2 = 1,5 = 3/2 ✓ oraz −0,5 · 2 = −1 = −2/2 ✓. To szybki sposób, by wychwycić pomyłkę w znakach.

Wierzchołek paraboli

Wykres funkcji y = ax² + bx + c to parabola o wierzchołku w punkcie W = (−b/2a, −Δ/4a). Gdy a > 0, ramiona są skierowane w górę i wierzchołek jest najniższym punktem — stąd zastosowania w zadaniach optymalizacyjnych, np. przy szukaniu największego pola przy danym obwodzie.

Wszystkie przypadki, razem z deltą, pierwiastkami i wierzchołkiem, policzysz w kalkulatorze równań kwadratowych.