Przejdź do treści

Kalkulator równania kwadratowego

Rozwiąż ax² + bx + c = 0: delta, pierwiastki (także zespolone), wierzchołek paraboli, postać iloczynowa i kanoniczna.

x² + x + = 0

Umieść to narzędzie na swojej stronie

Bezpłatnie, bez rejestracji. Widżet pokazuje na dole napis „Narzędzie udostępnia AMKBIT.pl”.

Strona demonstracyjna

Wzory na równanie kwadratowe

Równanie ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) rozwiązujemy przez wyróżnik (deltę):

Δ = b² − 4ac x₁ = (−b − √Δ) / 2a x₂ = (−b + √Δ) / 2a

  • Δ > 0 — dwa różne pierwiastki rzeczywiste,
  • Δ = 0 — jeden pierwiastek podwójny x₀ = −b / 2a,
  • Δ < 0 — brak pierwiastków rzeczywistych (są dwa pierwiastki zespolone sprzężone).

Wierzchołek paraboli ma współrzędne p = −b / 2a, q = −Δ / 4a, a postać kanoniczna funkcji to f(x) = a(x − p)² + q.

Kalkulator liczy pierwiastki wzorem odpornym na błędy zaokrągleń (gdy b² jest dużo większe od 4ac, zwykły wzór traci dokładność przy jednym z pierwiastków).

Przykłady

Dwa pierwiastki

x² − 3x + 2 = 0: Δ = 9 − 8 = 1, x₁ = 1, x₂ = 2. Postać iloczynowa: (x − 1)(x − 2).

Pierwiastek podwójny

x² − 4x + 4 = 0: Δ = 0, x₀ = 2 — parabola dotyka osi OX w jednym punkcie.

Brak rozwiązań rzeczywistych

x² + 2x + 5 = 0: Δ = −16, pierwiastki zespolone −1 ± 2i.

Najczęstsze pytania

Co, jeśli a = 0?

To już nie jest równanie kwadratowe, tylko liniowe bx + c = 0. Kalkulator rozwiąże je i poinformuje o tym.

Czy mogę wpisać ułamki dziesiętne?

Tak, z przecinkiem albo kropką, np. 0,5 lub −2,25.

Poradniki

Matematyka i statystykaRównanie kwadratowe i delta — jak rozwiązać krok po krokuJak obliczyć deltę, kiedy równanie ma dwa rozwiązania, jedno lub żadne i jak sprawdzić wynik wzorami Viète’a. Z przykładami dla każdego przypadku.Matematyka i statystykaUkład równań z dwiema niewiadomymi — trzy metody krok po krokuMetoda podstawiania, przeciwnych współczynników i wyznaczników na jednym przykładzie. Do tego: jak rozpoznać układ sprzeczny i nieoznaczony oraz jak…

Wynik ma charakter pomocniczy. Przy ważnych decyzjach (finansowych, technicznych, zdrowotnych) sprawdź go niezależnie. Zasady korzystania.