Przejdź do treści

Kalkulator macierzy — wyznacznik, odwrotna, mnożenie

Wyznacznik, macierz odwrotna, transponowana, rząd oraz dodawanie, odejmowanie i mnożenie macierzy do 6×6 — z wynikami w ułamkach.

Umieść to narzędzie na swojej stronie

Bezpłatnie, bez rejestracji. Widżet pokazuje na dole napis „Narzędzie udostępnia AMKBIT.pl”.

Strona demonstracyjna

Jak wpisywać macierze

Każdy wiersz w osobnej linii, liczby oddzielone spacją (albo średnikiem). Można wpisywać ułamki dziesiętne (2,5) i zwykłe (3/4). Wyniki pokazujemy jako ułamki zwykłe, gdy to możliwe.

Najważniejsze wzory

det [a b; c d] = a·d − b·c [a b; c d]⁻¹ = 1/(ad − bc) · [d −b; −c a] (A·B)ᵢⱼ = suma po k: Aᵢₖ · Bₖⱼ

  • Wyznacznik 3×3 można liczyć metodą Sarrusa, większe — rozwinięciem Laplace’a lub eliminacją Gaussa (tak liczy kalkulator).
  • Macierz odwrotna istnieje tylko wtedy, gdy wyznacznik jest różny od zera.
  • Mnożenie nie jest przemienne: zwykle A·B ≠ B·A. Liczba kolumn pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy drugiej.
  • Rząd to liczba liniowo niezależnych wierszy (kolumn) — mówi m.in., ile rozwiązań ma układ równań (twierdzenie Kroneckera–Capellego).

Przykłady

Macierz 2×2

A = [2 1; 1 3]: det A = 5, A⁻¹ = [3/5 −1/5; −1/5 2/5].

Iloczyn

[2 1; 1 3] · [1 0; 4 −2] = [6 −2; 13 −6].

Najczęstsze pytania

Dlaczego wynik ma ułamki, choć wpisałem liczby całkowite?

Macierz odwrotna zawiera dzielenie przez wyznacznik, więc zwykle ma ułamki. Pokazujemy je jako ułamki zwykłe, żeby wynik był dokładny.

Poradniki

Matematyka i statystykaMacierze od podstaw — dodawanie, mnożenie, wyznacznik i macierz odwrotnaCzym jest macierz, dlaczego A·B to nie to samo co B·A, jak policzyć wyznacznik 2×2 i 3×3 metodą Sarrusa i kiedy macierz odwrotna nie istnieje. Z…

Wynik ma charakter pomocniczy. Przy ważnych decyzjach (finansowych, technicznych, zdrowotnych) sprawdź go niezależnie. Zasady korzystania.