Przejdź do treści

Układ równań liniowych (2 i 3 niewiadome)

Rozwiąż układ dwóch lub trzech równań liniowych metodą wyznaczników (Cramera) — z wyznacznikami, rozwiązaniem w ułamkach i sprawdzeniem.

Umieść to narzędzie na swojej stronie

Bezpłatnie, bez rejestracji. Widżet pokazuje na dole napis „Narzędzie udostępnia AMKBIT.pl”.

Strona demonstracyjna

Metoda wyznaczników (Cramera)

Dla układu dwóch równań:

a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂ W = a₁b₂ − a₂b₁ Wx = c₁b₂ − c₂b₁ Wy = a₁c₂ − a₂c₁ x = Wx ÷ W y = Wy ÷ W

Gdy W ≠ 0, układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Gdy W = 0: jeśli któryś z wyznaczników Wx, Wy jest różny od zera — układ jest sprzeczny (proste równoległe, brak rozwiązań); jeśli wszystkie są zerami — nieoznaczony (ta sama prosta, nieskończenie wiele rozwiązań).

Dla trzech niewiadomych wyznaczniki 3×3 liczy się metodą Sarrusa albo rozwinięciem Laplace’a, a rozwiązanie to x = Wx/W, y = Wy/W, z = Wz/W.

Inne metody

W szkole często stosuje się metodę podstawiania (wyznaczamy jedną niewiadomą z równania i wstawiamy do drugiego) lub metodę przeciwnych współczynników (dodajemy równania stronami tak, by jedna niewiadoma się zredukowała). Wszystkie metody dają ten sam wynik — wyznaczniki są wygodne do obliczeń i do sprawdzania.

Przykłady

Układ 2×2

2x + 3y = 13, x − y = −1: W = −5, Wx = −10, Wy = −15 → x = 2, y = 3.

Układ 3×3

x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2 → x = 1, y = 2, z = 3.

Najczęstsze pytania

Czy mogę wpisać ułamki dziesiętne?

Tak, współczynniki mogą być dziesiętne (z przecinkiem lub kropką). Wynik w postaci ułamka zwykłego pokazujemy, gdy wszystkie dane są liczbami całkowitymi.

Poradniki

Matematyka i statystykaUkład równań z dwiema niewiadomymi — trzy metody krok po krokuMetoda podstawiania, przeciwnych współczynników i wyznaczników na jednym przykładzie. Do tego: jak rozpoznać układ sprzeczny i nieoznaczony oraz jak…Matematyka i statystykaMacierze od podstaw — dodawanie, mnożenie, wyznacznik i macierz odwrotnaCzym jest macierz, dlaczego A·B to nie to samo co B·A, jak policzyć wyznacznik 2×2 i 3×3 metodą Sarrusa i kiedy macierz odwrotna nie istnieje. Z…Matematyka i statystykaFunkcja liniowa — wzór, wykres i przykładyCo oznaczają a i b, jak wyznaczyć wzór z dwóch punktów i jak znaleźć miejsce zerowe.

Wynik ma charakter pomocniczy. Przy ważnych decyzjach (finansowych, technicznych, zdrowotnych) sprawdź go niezależnie. Zasady korzystania.