Macierze od podstaw — dodawanie, mnożenie, wyznacznik i macierz odwrotna

Macierz to prostokątna tabela liczb ułożonych w wiersze i kolumny. Macierz o m wierszach i n kolumnach ma wymiar m×n. Macierze są podstawą grafiki komputerowej, statystyki, uczenia maszynowego i rozwiązywania układów równań.

A = [2 1] B = [1 0] [1 3] [4 −2]

Dodawanie i mnożenie przez liczbę

Dodaje się elementy na tych samych pozycjach — macierze muszą mieć ten sam wymiar:

A + B = [2+1 1+0 ] = [3 1] [1+4 3−2 ] [5 1]

Mnożenie przez liczbę mnoży każdy element: 2·A = [4 2; 2 6].

Mnożenie macierzy

Element w wierszu i i kolumnie j iloczynu to suma iloczynów i-tego wiersza pierwszej macierzy i j-tej kolumny drugiej („wiersz razy kolumna”). Liczba kolumn A musi być równa liczbie wierszy B.

A·B = [2·1 + 1·4 2·0 + 1·(−2)] = [ 6 −2] [1·1 + 3·4 1·0 + 3·(−2)] [13 −6] B·A = [ 2 1] [ 6 −2]

Jak widać, A·B ≠ B·A — mnożenie macierzy nie jest przemienne. To najczęstsze źródło błędów.

Wyznacznik

Wyznacznik (det) to liczba przypisana macierzy kwadratowej. Dla 2×2:

det [a b; c d] = a·d − b·c det A = 2·3 − 1·1 = 5

Dla 3×3 wygodna jest metoda Sarrusa: dopisz z prawej strony dwie pierwsze kolumny, dodaj iloczyny trzech „przekątnych” w dół w prawo i odejmij iloczyny trzech przekątnych w górę w prawo.

det [1 2 3; 4 5 6; 7 8 10] = 1·5·10 + 2·6·7 + 3·4·8 − 3·5·7 − 1·6·8 − 2·4·10 = 50 + 84 + 96 − 105 − 48 − 80 = −3

Metoda Sarrusa działa tylko dla 3×3. Większe macierze liczy się rozwinięciem Laplace’a albo sprowadzając do postaci schodkowej (eliminacja Gaussa).

Macierz odwrotna

A⁻¹ to taka macierz, że A·A⁻¹ = I (macierz jednostkowa z jedynkami na przekątnej). Istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy det A ≠ 0. Dla 2×2:

A⁻¹ = 1/det A · [ d −b] = 1/5 · [ 3 −1] = [ 3/5 −1/5] [−c a] [−1 2] [−1/5 2/5]

Macierz [1 2; 2 4] ma wyznacznik 1·4 − 2·2 = 0 — drugi wiersz jest wielokrotnością pierwszego — więc nie ma odwrotnej (jest osobliwa).

Związek z układami równań

Układ 2x + y = 5, x + 3y = 10 można zapisać jako A·X = B. Gdy det A ≠ 0, rozwiązanie to X = A⁻¹·B, a każdą niewiadomą da się też policzyć wzorami Cramera — opisujemy je w poradniku o układach równań, a rozwiąże je kalkulator układów równań.

Wszystkie działania z tego artykułu — także dla macierzy do 6×6 i z wynikami w ułamkach — wykonasz w kalkulatorze macierzy.