Przejdź do treści

Liczby pierwsze — sprawdzanie, rozkład, dzielniki, lista

Sprawdź, czy liczba jest pierwsza, rozłóż ją na czynniki pierwsze, wypisz wszystkie dzielniki, znajdź najbliższe liczby pierwsze i wygeneruj listę liczb pierwszych do N.

Umieść to narzędzie na swojej stronie

Bezpłatnie, bez rejestracji. Widżet pokazuje na dole napis „Narzędzie udostępnia AMKBIT.pl”.

Strona demonstracyjna

Czym jest liczba pierwsza

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie: 2, 3, 5, 7, 11, 13… Liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą. Liczby większe od 1, które nie są pierwsze, to liczby złożone. 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona.

Rozkład na czynniki pierwsze

Każdą liczbę złożoną można zapisać jednoznacznie jako iloczyn liczb pierwszych (podstawowe twierdzenie arytmetyki): 360 = 2³ · 3² · 5. Z rozkładu łatwo policzyć liczbę dzielników — mnożymy wykładniki powiększone o 1: (3+1)(2+1)(1+1) = 24.

Jak sprawdzić pierwszość

Wystarczy sprawdzić dzielenie przez liczby pierwsze nie większe niż pierwiastek z liczby. Dla 97: √97 ≈ 9,8, więc sprawdzamy 2, 3, 5, 7 — żadna nie dzieli 97, więc 97 jest pierwsza.

Sito Eratostenesa

Aby wypisać wszystkie liczby pierwsze do N, wypisujemy liczby od 2 do N i kolejno skreślamy wielokrotności każdej nieskreślonej liczby (zaczynając od jej kwadratu). Liczby, które zostaną, są pierwsze. Do 100 jest ich 25, do 1000 — 168.

Do czego służą

Liczby pierwsze są podstawą współczesnej kryptografii — bezpieczeństwo wielu szyfrów opiera się na tym, że rozłożenie bardzo dużej liczby na czynniki pierwsze jest ogromnie trudne. W szkole przydają się do skracania ułamków oraz szukania NWD i NWW.

Przykłady

360

360 = 2³ · 3² · 5, 24 dzielniki, suma dzielników 1170.

Liczba doskonała

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 — suma dzielników właściwych równa samej liczbie.

Najczęstsze pytania

Czy liczb pierwszych jest nieskończenie wiele?

Tak — udowodnił to już Euklides ok. 300 r. p.n.e. Gdyby było ich skończenie wiele, iloczyn wszystkich powiększony o 1 nie dzieliłby się przez żadną z nich, co prowadzi do sprzeczności.

Poradniki

Matematyka i statystykaLiczby pierwsze — jak je rozpoznać, rozkładać i dlaczego chronią internetCechy podzielności, które pozwalają szybko odrzucić liczby złożone, rozkład na czynniki krok po kroku, sito Eratostenesa i rola liczb pierwszych w…Matematyka i statystykaDzielniki i rozkład na czynniki pierwszeJak szybko znaleźć dzielniki, rozłożyć liczbę i wykorzystać to przy NWD oraz ułamkach.Matematyka i statystykaJak szybko nauczyć się tabliczki mnożenia — metody dla dzieci i rodzicówOd czego zacząć, jak zmniejszyć liczbę działań do zapamiętania z 100 do 21, sztuczki na palcach dla 9, gry i krótkie codzienne testy. Praktyczny…

Wynik ma charakter pomocniczy. Przy ważnych decyzjach (finansowych, technicznych, zdrowotnych) sprawdź go niezależnie. Zasady korzystania.