Przejdź do treści

Prawdopodobieństwo — rozkład dwumianowy (schemat Bernoulliego)

Oblicz prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów w n próbach, co najwyżej lub co najmniej k sukcesów oraz „co najmniej jednego” — z wykresem rozkładu, wartością oczekiwaną i odchyleniem.

Umieść to narzędzie na swojej stronie

Bezpłatnie, bez rejestracji. Widżet pokazuje na dole napis „Narzędzie udostępnia AMKBIT.pl”.

Strona demonstracyjna

Schemat Bernoulliego

Gdy powtarzamy n razy to samo doświadczenie, w którym są tylko dwa wyniki — sukces (z prawdopodobieństwem p) i porażka (1 − p) — a próby są niezależne, liczba sukcesów ma rozkład dwumianowy:

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k) C(n, k) = n! ÷ (k! · (n − k)!)

C(n, k) to liczba sposobów wyboru, w których próbach były sukcesy — liczbę kombinacji policzysz też w kalkulatorze kombinatoryki.

Przykłady

  • 10 rzutów monetą, dokładnie 5 orłów: C(10, 5) · 0,5¹⁰ = 252/1024 ≈ 24,61%. Choć 5 to najbardziej prawdopodobny wynik, zdarza się tylko w co czwartej serii.
  • Co najmniej jedna szóstka w 6 rzutach kostką: 1 − (5/6)⁶ ≈ 66,51% — a nie 100%, jak mogłoby się wydawać.
  • Zgadywanie w teście z 20 pytaniami po 4 odpowiedzi: szansa na co najmniej 10 poprawnych to ok. 1,4%.

„Co najmniej jeden”

Najłatwiej liczyć przez zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jeden) = 1 − P(żadnego) = 1 − (1 − p)^n. Tak samo liczy się np. szansę, że w grupie ktoś będzie chory, albo że przynajmniej raz zadziała alarm.

Przykłady

Moneta

n = 10, p = 0,5, k = 5: P(X = 5) = 24,61%, P(X ≥ 5) ≈ 62,30%.

Kostka

n = 6, p = 1/6: co najmniej jedna szóstka ≈ 66,51%, dokładnie jedna ≈ 40,19%.

Najczęstsze pytania

Czy po 5 reszkach z rzędu orzeł jest bardziej prawdopodobny?

Nie — rzuty są niezależne, w każdym szansa na orła wynosi 50%. Przekonanie, że „teraz musi wypaść orzeł”, to tzw. błąd hazardzisty.

Poradniki

Matematyka i statystykaPrawdopodobieństwo w praktyce — moneta, kostka, loteria i paradoks urodzinDlaczego 5 orłów w 10 rzutach zdarza się rzadziej, niż myślisz, jak policzyć szansę na „co najmniej jeden”, ile osób trzeba, żeby dwie miały…Matematyka i statystykaKorelacja i regresja liniowa — jak czytać wyniki i nie dać się oszukać danymCo oznacza współczynnik korelacji 0,8, czym jest R², kiedy linia trendu pozwala prognozować, a kiedy prowadzi na manowce. Przykłady z życia: lody i…

Wynik ma charakter pomocniczy. Przy ważnych decyzjach (finansowych, technicznych, zdrowotnych) sprawdź go niezależnie. Zasady korzystania.