Kolejność wykonywania działań — dlaczego 2 + 2 · 2 to 6, a nie 8
Nawiasy, potęgi, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie — zasady kolejności działań z przykładami, najczęstsze pułapki (−2², 6 ÷ 2(1 + 2)) i dlaczego kalkulator w telefonie czasem liczy inaczej.
Zasady
- Nawiasy — najpierw to, co w nawiasach (od najbardziej wewnętrznych).
- Potęgi i pierwiastki.
- Mnożenie i dzielenie — w kolejności od lewej do prawej, mają równy priorytet.
- Dodawanie i odejmowanie — też od lewej do prawej.
2 + 2 · 2 = 2 + 4 = 6 (2 + 2) · 2 = 4 · 2 = 8 20 − 8 ÷ 4 · 2 = 20 − 2 · 2 = 20 − 4 = 16
W ostatnim przykładzie dzielenie i mnożenie wykonujemy od lewej: najpierw 8 ÷ 4 = 2, potem 2 · 2 = 4. Częsty błąd to policzenie najpierw 4 · 2 = 8 i 8 ÷ 8 = 1.
Potęgi — pułapki
- −2² = −4, bo potęgujemy tylko 2, a minus stoi przed wynikiem. Natomiast (−2)² = 4.
- 2³² = 2⁹ = 512 — wieżę potęg liczymy od góry (od prawej), nie (2³)² = 64.
- 2 · 3² = 18, nie 36 — potęga dotyczy tylko liczby, przy której stoi.
Słynna zagadka 6 ÷ 2(1 + 2)
W internecie regularnie wraca spór, czy wynik to 9, czy 1. Według zasady „mnożenie i dzielenie od lewej” mamy 6 ÷ 2 · 3 = 3 · 3 = 9. Niektóre podręczniki i kalkulatory traktują jednak mnożenie „bez znaku” (przyklejone do nawiasu) jako silniejsze i dostają 6 ÷ 6 = 1. Wniosek praktyczny: zapis jest niejednoznaczny — w poważnych obliczeniach zawsze stawiaj nawiasy, np. (6 ÷ 2)(1 + 2) albo 6 ÷ (2(1 + 2)), albo używaj kreski ułamkowej.
Kalkulator a kolejność działań
Proste kalkulatory (i niektóre aplikacje w telefonie w trybie podstawowym) liczą działania na bieżąco, w kolejności wpisywania: 2 + 2 × 2 = 8. Kalkulatory naukowe, arkusze kalkulacyjne i języki programowania stosują kolejność działań: wynik to 6.
Całe wyrażenia z nawiasami, potęgami i funkcjami — liczone zgodnie z zasadami — obliczysz w kalkulatorze naukowym. Jeśli w wyrażeniu są ułamki zwykłe, wygodniej użyć kalkulatora ułamków (zob. też działania na ułamkach).
Ćwiczenia
| Wyrażenie | Wynik |
|---|---|
| 3 + 4 · 5 − 6 | 17 |
| (3 + 4) · (5 − 6) | −7 |
| 100 ÷ 10 ÷ 2 | 5 |
| 2 + 3² · 2 | 20 |
| (2 + 3)² · 2 | 50 |
| 18 − 3 · (4 − 2)³ | −6 |
| √(9 + 16) − √9 − √16 | −2 |
Ostatni przykład pokazuje, że pierwiastek z sumy to nie suma pierwiastków: √25 = 5, a √9 + √16 = 7. Podobnie (a + b)² ≠ a² + b².
Wyniki zaokrąglaj dopiero na końcu obliczeń — zasady opisuje poradnik zaokrąglanie liczb.
Narzędzia do tego poradnika
kolejność działańnawiasypotęgikalkulatormatematyka szkolnazagadki