Potęgi i pierwiastki — zasady działań, wzory i typowe pułapki

Działania na potęgach

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ 5⁶ : 5⁴ = 5² = 25 (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ (3²)³ = 3⁶ = 729 (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ (2 · 5)³ = 8 · 125 = 1000 (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

Wykładnik zerowy, ujemny i ułamkowy

a⁰ = 1 (dla a ≠ 0) a⁻ⁿ = 1 / aⁿ 2⁻³ = 1/8 a^(1/n) = ⁿ√a 8^(1/3) = 2 a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) 27^(2/3) = 9

Każdą z tych wartości sprawdzisz w kalkulatorze potęg, pierwiastków i logarytmów, a złożone wyrażenia — w kalkulatorze naukowym.

Pierwiastki

√(a · b) = √a · √b √50 = √25 · √2 = 5√2 √(a / b) = √a / √b √a² = |a| √((−3)²) = 3, nie −3

Usuwanie niewymierności z mianownika: mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek: 1/√2 = √2/2. Przy sumie: 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/((√3)² − 1²) = (√3 + 1)/2.

Typowe pułapki

• −2² ≠ (−2)² — potęgowanie ma pierwszeństwo przed minusem: −2² = −4, a (−2)² = 4 (zob. kolejność działań).
• (a + b)² ≠ a² + b² — poprawnie: a² + 2ab + b².
• √(a + b) ≠ √a + √b — √(9 + 16) = 5, a √9 + √16 = 7.
• 2³ · 3³ to nie 6⁹ — to 6³ = 216 (ta sama potęga, różne podstawy).
• Pierwiastek z liczby ujemnej — parzysty nie istnieje w liczbach rzeczywistych, nieparzysty tak: ∛(−8) = −2.

Notacja wykładnicza

300 000 000 = 3 · 10⁸ 0,00045 = 4,5 · 10⁻⁴ (3 · 10⁸) · (2 · 10⁻³) = 6 · 10⁵

Używa się jej w fizyce, chemii i informatyce do bardzo dużych i bardzo małych liczb. Liczbę przed potęgą zapisuje się z przedziału od 1 do 10.

Potęgi w życiu codziennym

Procent składany to potęgowanie: kapitał × (1 + r)ⁿ (zob. procent składany). Rozmiary plików i pamięci rosną potęgami dwójki (2¹⁰ = 1024). Pole kwadratu to potęga druga, objętość sześcianu — trzecia. Działania na ułamkach w podstawie potęgi opisuje poradnik ułamki zwykłe (kalkulator: ułamki).