Rzut ukośny, poziomy i spadek swobodny — wzory i rozwiązane zadania

Klucz do wszystkich rzutów to jedna obserwacja: ruch poziomy i pionowy są od siebie niezależne. W poziomie (bez oporu powietrza) ciało porusza się ze stałą prędkością, a w pionie — ze stałym przyspieszeniem g ≈ 9,81 m/s² skierowanym w dół. Wspólny jest tylko czas.

Wzory

Rodzaj ruchu	Czas	Zasięg / wysokość	Prędkość końcowa
spadek swobodny z wysokości h	t = √(2h ÷ g)	—	v = √(2gh)
rzut pionowy w górę z prędkością v₀	wznoszenie: v₀ ÷ g	H = v₀² ÷ (2g)	v₀ (przy powrocie)
rzut poziomy z wysokości h	t = √(2h ÷ g)	z = v₀·√(2h ÷ g)	v = √(v₀² + 2gh)
rzut ukośny z ziemi, kąt α	t = 2v₀·sin α ÷ g	z = v₀²·sin 2α ÷ g, H = v₀²·sin²α ÷ (2g)	v₀

Zadanie 1 — spadek swobodny

Z jakiej wysokości spadł kamień, jeśli spadał 3 s? Z jaką prędkością uderzył?

h = g·t² ÷ 2 = 9,81 · 9 ÷ 2 = 44,1 m v = g·t = 9,81 · 3 = 29,4 m/s (ok. 106 km/h)

Zadanie 2 — rzut poziomy

Z mostu o wysokości 15 m rzucono poziomo kamień z prędkością 8 m/s. Jak daleko od mostu upadnie?

t = √(2 · 15 ÷ 9,81) = 1,749 s z = 8 · 1,749 = 13,99 m v = √(8² + 2 · 9,81 · 15) = 18,93 m/s

Zwróć uwagę: czas spadania jest taki sam, jak gdyby kamień po prostu upuszczono — prędkość pozioma go nie zmienia.

Zadanie 3 — rzut pionowy

Piłkę wyrzucono pionowo w górę z prędkością 15 m/s. Jak wysoko doleci i po jakim czasie wróci?

H = 15² ÷ (2 · 9,81) = 11,47 m czas wznoszenia = 15 ÷ 9,81 = 1,53 s, całkowity = 3,06 s

To samo wynika z zasady zachowania energii: m·v²/2 = m·g·H — masa się skraca (sprawdź w kalkulatorze energii).

Zadanie 4 — rzut ukośny

Piłkę kopnięto z prędkością 20 m/s pod kątem 30°. Oblicz zasięg. Jaki byłby zasięg pod kątem 60°?

z(30°) = 20² · sin 60° ÷ 9,81 = 400 · 0,866 ÷ 9,81 = 35,31 m z(60°) = 20² · sin 120° ÷ 9,81 = 35,31 m

Kąty, które sumują się do 90° (30° i 60°, 20° i 70°), dają ten sam zasięg, bo sin 2α ma tę samą wartość. Różnią się wysokością i czasem lotu: pod kątem 60° piłka leci wyżej i dłużej. Największy zasięg daje kąt 45°. Wartości funkcji trygonometrycznych sprawdzisz w kalkulatorze trygonometrycznym.

Najczęstsze błędy

• Używanie całej prędkości v₀ zamiast jej składowych v₀·cos α (poziomo) i v₀·sin α (pionowo).
• Kalkulator ustawiony na radiany zamiast stopni.
• Zapominanie, że przy rzucie z wysokości czas lotu jest dłuższy niż 2v₀·sin α ÷ g.
• Mieszanie jednostek — prędkość w km/h trzeba zamienić na m/s (podzielić przez 3,6).

Każdy wariant — z dowolnej wysokości, pod dowolnym kątem, także na Księżycu — przeliczysz i zobaczysz na wykresie w kalkulatorze rzutów.