Twierdzenie Pitagorasa — wzór, przykłady i zastosowania w praktyce

Twierdzenie Pitagorasa dotyczy wyłącznie trójkątów prostokątnych, czyli takich, które mają kąt 90°. Boki przy kącie prostym to przyprostokątne (a i b), a najdłuższy bok naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna (c).

Wzór

a² + b² = c²

Z wzoru wynikają dwa przekształcenia:

• przeciwprostokątna: c = √(a² + b²),
• przyprostokątna: a = √(c² − b²).

Przykład 1: przekątna telewizora

Ekran ma 121 cm szerokości i 68 cm wysokości. Przekątna = √(121² + 68²) = √(14 641 + 4 624) = √19 265 ≈ 138,8 cm. Po podzieleniu przez 2,54 daje to około 55 cali.

Przykład 2: drabina przy ścianie

Drabina ma 5 m, a jej podstawa stoi 1,4 m od ściany. Na jakiej wysokości oprze się o ścianę? h = √(5² − 1,4²) = √(25 − 1,96) = √23,04 = 4,8 m.

Przykład 3: kąt prosty na budowie — reguła 3-4-5

Liczby 3, 4 i 5 spełniają równanie: 9 + 16 = 25. Murarze i cieśle wykorzystują to od wieków. Odmierz 3 m wzdłuż jednej ściany i 4 m wzdłuż drugiej — jeśli odległość między tymi punktami wynosi dokładnie 5 m, kąt jest prosty. Dla większej dokładności używa się wielokrotności: 6-8-10 albo 9-12-15.

Trójki pitagorejskie

Trójki liczb całkowitych spełniających twierdzenie warto znać na pamięć, bo upraszczają zadania:

a	b	c
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25
20	21	29

Twierdzenie odwrotne

Jeśli w trójkącie suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego, trójkąt jest prostokątny. Gdy suma jest większa — trójkąt jest ostrokątny, a gdy mniejsza — rozwartokątny.

Odległość między punktami

W układzie współrzędnych odległość punktów (x₁, y₁) i (x₂, y₂) to też Pitagoras: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Tak samo liczy się przekątną prostokąta albo — po dodaniu trzeciego wymiaru — przekątną prostopadłościanu: d = √(a² + b² + h²).

Brakujący bok obliczysz w kalkulatorze twierdzenia Pitagorasa, a kąty trójkąta w kalkulatorze trygonometrycznym.